2018年2月19日 星期一

《戰雲密報》:這就是傳媒應該做的事


傳媒被視為「第四權」,負責監察政府,揭露社會問題,報道事件的真相,發揮輿論壓力,維護社會上的公義。它是一個健全社會中不可或缺的角色。奈何在今天,香港傳媒面臨很多挑戰,令傳媒越來越難發揮其應有的作用。一來管治者侵擾新聞自由,令自我審查情況越來越普遍,二來不少傳媒因顧慮成本及銷量,往往用嘩眾取寵的煽情誇張方式報導,令自己的公信力大大下降。這套《戰雲密報》是一個很好的機會,讓我們重新反思傳媒的責任與意義。

故事明顯是借古諷今,講述「五角大廈文件案」的歷史。話說美國政府因決策錯誤才會墮入越戰,進退失據,於是政府為了掩飾失誤,就向國民隱瞞真相。《紐約時報》記者從洩密者手上得到了政府機密文件,隨即決定把文件公開,卻被政府要求停止刊登,政府更成功在法庭申請到臨時禁制令。之後《華盛頓郵報》也取得了這些文件,電影主要環繞梅麗史翠普飾演的《華盛頓郵報》總裁Katharine Graham和湯漢斯飾演的總編輯Benjamin Bradlee二人面對政府壓力仍然決定公開文件的故事。

史提芬史匹堡、湯漢斯、梅麗史翠普,這個組合一看就知道非同小可。誠然,這電影或許並非三人最佳的作品,但即使他們中規中距的作品已經甚有質素,再加上一個別出心裁的主題,誠意十足,令人賞心悅目。

電影拍得甚有氣氛,雖然開頭略嫌平淡,不至於高潮迭起,但之後慢慢變得節奏鮮明,完全令人感覺到主角們當年面對的壓力。當時《華盛頓郵報》正計劃上市,一捲入負面消息,投資者就可以撤資,令報管倒閉。更甚的是,由於政府已經申請到禁制令,公開文件的話可能會被政府控告,面臨牢獄之災。導演史提芬史匹堡拍攝得四平八穩,大路得來氣氛緊張,相當熱血。男女主角作風南轅北轍,甚有火花。男主角特立獨行,熱血衝動,到他來說,新聞自由是最重要的。相較起來,女主角的角色就更加有趣了,她的丈夫早過身,她繼承了《華盛頓郵報》總裁,但在女性仍然被看輕的當年,她在事業上舉步維艱,受了不少男士的冷眼。當《華盛頓郵報》快要上市時面臨這種衝擊,心裡自然矛盾得多。

或許有人覺得梅麗史翠普又獲得奧斯卡最佳女主角獎提名,這個「萬年提名」有些過譽,但你不得不承認她的確演得非常出色,即使她只是四平八穩地演出,已經令人感到她演技的爐火純青。由最初的猶豫不決到最後高潮戲中穿上睡衣力排眾議,說“Let’s publish.”“My decision stands, and I'm going to bed.”真是令人看得熱血沸騰。

據稱這部電影的來源是因為美國總統特朗普放肆攻擊傳媒,這電影算是導演史提芬史匹堡借古諷今的反擊之作。雖然作品原意是帶出美國的問題,但小弟覺得放在香港一樣合適。在今時今日的環境,我們更加需要不畏強權,公正客觀,盡力做好自己責任的傳媒工作者。但願大家都謹記“The only way to protect the right to publish is to publish.”

史丹福推介度:82/100


2018年2月12日 星期一

醫學中的愛情故事

今天是情人節前夕,預祝各位情人節快樂。在這個特別的節日,史丹福也跟大家分享兩個浪漫的醫學愛情故事。

愛情的結晶──外科手套

大家知不知道外科手術用的手套原來來自一個美麗的愛情故事?

故事的主人翁是大名鼎鼎的「近代外科學之父」,美國約翰.霍普金斯醫院(Johns Hopkins Hospital)的創院「四巨頭」之一──豪斯泰德(William Stewart Halsted)。

19世紀未,當時的外科手術仍然很粗糙,外科醫生相信做手術最重要夠快。只有手術夠快,才能減輕對病人的傷害。因此在那個時候,大部分的手術都可以在半個小時內完成。但豪斯泰德特立獨行,他相信手術不應求快,而是要求精細。他提出做外科手術時應該輕巧地對待組織,使用銳性剝離,並要小心地止血,保存組織的血液供應。而且手術時要貫徹地使用無菌技巧(aseptic technique)。因此豪斯泰德做手術的時間比當時其他外科醫生長很多,但病人的存活率卻明顯地好。到了今天,豪斯泰德提出的原則已經是外科的金科玉律,每位外科醫生都一定會遵從。

除此之外,豪斯泰德也首先提出徹底性乳房切除術(radical mastectomy)、新式的腹股溝疝修補(inguinal hernia repair)手術,並改良了膽管、甲狀腺、血管等多個領域的外科手術。

豪斯泰德的另一個大貢獻就是發明了外科手術用的手套。話說豪斯泰德很注重無菌操作,他提出所有手術人員在徹底地清潔雙手後,要再把雙手浸在具腐蝕性的氯化汞(mercury bichloride)溶液中。豪斯泰德的助手,護士長漢普頓(Caroline Hampton)對很多醫學問題都有興趣,時常向豪斯泰德請教醫學問題。豪斯泰德形容她做事效率出奇地好,與他合作無間。他留意到漢普頓雙手皮膚因時常浸泡在氯化汞中而發炎,於是特意找了橡膠公司設計了橡膠手套去保護她的雙手。漢普頓被豪斯泰德的細心所感動,之後二人開始交往,漢普頓最後下嫁了豪斯泰德,成了他的妻子。

外科手套這份愛情的結晶,原意只是用來保護醫護人員的雙手,但豪斯泰德的學生發現如果醫護人員使用外科手套做手術,病人得到術後感染的機會也會降低,所以就一直使用至今,成為了外科手術不可或缺的工具。

「情人的骨折」

之後介紹一個以「情人」來命名「浪漫」疾病。話說一雙不為世間接受的戀人為了逃避俗世的追捕,只好從高處跳下。跳下時腳跟下地,一陣劇痛,原來是跟骨(calcaneus)骨折了。因為這個原因,醫學界就把跟骨骨折稱為「情人的骨折」(lover's fracture)。

除了「情人的骨折」,跟骨骨折又被稱為「唐璜骨折」(Don Juan fracture)。唐璜是西班牙傳說中的風流「情聖」,他英俊瀟灑,風流倜儻,不少女士都被他吸引到。唐璜的形象家傳戶曉,在不少文學及音樂作品中都有他的蹤影。把跟骨骨折稱為「唐璜骨折」,也許是因為他的情人太多,要終日躲避吧?

「情人的骨折」病人的足部X光(來源:Radiopaedia)

 「情人的骨折」病人的腳跟會有劇痛及腫脹,可能影響站立及行走。醫生一般會用足部X光或者電腦掃描來作診斷。在側面X光中,跟骨的前上及前後切線形成的角度叫做Böhler's angle。正常人的Böhler's angle應該介於2040度,但如果病人的Böhler's angle小於20度,就很有可能得了骨折。

「情人的骨折」病人的Böhler's angle小於20度(來源:Radiopaedia)

至於治療方面,如果骨折沒有影響到關節,可以選擇鋼釘或石膏固定等較保守的治療方法。如果骨折影響到關節,就要考慮做手術治療了,例如使用開放性復位以及骨內固定術(open reduction and internal fixation)的方法。

「情人的骨折」的故事深入人心,但在真實世界中就沒有這麼浪漫了。記得史丹福當年在骨科實習,第一位遇見的「情人的骨折」病人是因為在西貢玩跳瀑布,結果腳跟撞到石頭而導致骨折。跳瀑布是很危險的活動,大家要小心注意安全啊!

希望各位情人在情人節不須骨折都可以一樣可以浪浪漫漫。願天下有情人終成眷屬。

資料來源:

1.    Osborne MP. William Stewart Halsted: his life and contributions to surgery. The Lancet Oncology. 2007: 8; 256-265.


2.    Maskill JD, Bohay DR, Anderson JG. Calcaneus Fractures: A Review Article. Foot and Ankle Clinics. 2005: 10; 463-489.

2018年2月3日 星期六

雲的藝術

大家都喜歡萬里無雲的天空。一望無際的藍天,何其壯觀啊!但細想一層,如果藍天時常都是萬里無雲,也很單調寂寞吧?雲的點綴,反而可以為天空帶來另一種的美。史丹福今次就跟大家介紹一下一些基本的雲的知識,讓大家可以更欣賞到雲的美麗。

世界氣象組織把雲分類為10大雲屬,這10個雲屬又可依照它們的高度被歸類為低雲族、中雲族及高雲族。低雲族位於2500米以下,中雲族位於25006000米之間,中雲族位於600018000米之間。

低雲族:積雲(Cumulus)、積雨雲(Cumulonimbus)、層雲(Stratus)、層積雲(Stratocumulus
中雲族:高積雲(Altocumulus)、高層雲(Altostratus)、雨層雲(Nimbostratus
高雲族:卷雲(Cirrus)、卷積雲(Cirrocumulus)、卷層雲(Cirrostratus

初初見這這些名字,應該會有點吃不消吧?不用擔心,簡單一點來說,大家只要記著積雲像棉花糖、層雲像棉被、卷雲像羽毛,就大致上可以記到各種雲屬的形狀了,例如層積雲是一堆堆棉花糖聚積成棉被,卷層雲則是由羽毛聚積成的棉被。

積雲

像綿花糖一樣的積雲

像綿花糖一樣的積雲

積雲應該是大家心目中最典型的雲,如果現在要大家畫一朵雲,我深信大家十居其九都會畫了一朵積雲。

積雲像棉花糖,一朵朵獨立地散布在空中,底部平坦,頂部像一座塔。它由上升的對流氣流形成,當太陽照射到地面,令某些地方暖起來,較熱的空氣帶著水份就會向上升,做成積雲。因此積雲是一個上升對流氣流的標誌,如果你玩滑翔翼,你會發現自己總是朝著積雲飛過去,因為把積雲抬起的氣流一樣會把你的滑翔翼抬起。

積雲大多都伴隨著晴朗的好天氣,如果對流氣流一直持續,積雲會垂直生長,越生越高,變成像是一座塔般的濃積雲(在分類上仍然屬於積雲)。

如果對流氣流持續,積雲會發展成像是一座塔的濃積雲
如果現在要大家畫一幅下雨的圖畫,我深信大家十居其九都會畫了幾朵積雲,下面再畫些雨點。但令大家意想不到的是,這是錯的,因為積雲大多都不會降雨,除非它發展成濃積雲,才會有短暫陣雨。

積雨雲

雲頂像砧板的積雨雲

當對流運動繼續,積雲就會繼續發展增厚,由濃積雲再變成積雨雲。

積雨雲是雲中之王。如果就濃積雲像一座塔,那積雨雲就簡直是一座山。雖然分類上一般比積雨雲歸為低雲族,但這個分類方法也未免太看少了它。積雨雲可是橫跨低、中、高三層,可以厚達十多公里的超級巨無霸。積雨雲可以帶來最強烈的壞天氣,例如狂風暴雨、閃電雷暴,甚至是冰雹、龍卷風。

那我們應該如何分辦濃積雲與積雨雲呢?只要觀察兩者的雲頂,原來積雨雲生得很高,雲頂部分氣溫很低,所以水滴已經結冰,邊緣會靠為鬆散。

積雨雲的頂部有時會好像砧板平了一塊,這是因為它生得實在太高,已經由大氣層中的對流層長到平流層。平流層有別於對流層,它的溫度會隨高度增加而上升,令雲無辦法再向上生長,雲像是碰到一塊天花,只好往旁邊走,頂部變成一塊砧板般的形狀。

如果要觀賞積雨雲的話,就必須要在一段很遠的地方外觀察。因為它實在太大了,如果離它太近的話根本不會看到它的全貌。如果在它的底部觀看,更只會見到灰暗一片,甚至有狂風暴雨,而不會體會到整朵積雨雲的壯麗。

層雲

最沉悶又沒有特色的層雲
層雲是一種很沉悶的雲,它像是一大張綿被。10種雲屬中,層雲是最接近地面的,有時候它甚至會在地面出現,那就形成霧了。

層雲形成的機制與積雲及積雨雲完全不同,它是由整層空氣的氣溫同時降低所引起。當空氣的氣溫下降,可以容納的水蒸氣會減少,於是水蒸氣凝結成小水滴,形成雲。 例如冷鋒出現是,冷氣團向暖氣團推進,由於冷氣團密度較暖氣團低,於是冷氣團插在暖氣團下面,把整團暖氣團抬起。暖氣團氣溫下降,水蒸氣凝結成小水滴,形成層雲。

與對流雲的激烈氣流相比,形成層雲的大氣情況非常穩定,所以層雲可以連續幾天都徘徊不走。層雲偶爾也可以帶來降雨,但由於它並不厚,所帶的水份不多,所以層雲所帶來的一般都只是毛毛雨。

層積雲

變化多端的層積雲

變化多端的層積雲
變化多端的層積雲

層積雲,顧名思義是一種介乎層雲與積雲之間的雲,像是一堆綿花糖形成的綿被。

有別於積雲,它不是一朵朵單獨的對流雲;有別於層雲,它的底部不是平平一片,平淡無奇,而是有很分明的輪廓結構。

層積雲一般都甚少會有降雨,除非是長得很高,才會有微微細雨。如果大家發現層積雲伴隨著傍沱大雨,那很有可能是有濃積雲或者積雨雲隱藏其中。

層積雲變化多端,基本上低空的雲如果既非單獨存在的對流雲,而又不是沒有形狀可言的層雲,則多半是層積雲了。層積雲大概是10種雲屬中最常見的,大家如果見到一些不知如何分類的雲,那麼猜是層積雲的話多半都是正確的。層積雲可以把一大片的天空都遮掩著,但有時可以在雲與雲之間見到裂縫。

層積雲之間偶爾可以見到天空的裂縫

層積雲可以由層雲或積雲累積水氣而形成的,也可以是積雨雲或雨層雲消散所形成的過渡雲屬。

今次先跟大家介紹四種低雲族,下次有機會再跟大家分享餘下的六種雲屬。

資料來源:

1.      World Meteorological Organization, ed. (1975). International Cloud Atlas. 

2.      香港天文台 http://www.hko.gov.hk/

3.      Wikipedia https://www.wikipedia.org/

2018年1月30日 星期二

寒冷天氣與血液疾病

近幾日冷風颼颼,寒風刺骨,急症室人頭湧湧。大家都知道寒冷天氣可以誘發不少呼吸疾病,如哮喘及慢性阻塞性肺病,甚至可以誘發冠心病。但大家又知不知道有幾個血液科的疾病原來也與寒冷天氣適適相關?

早在1872年,已經有人記載過一個很奇怪的疾病,患者只要接觸到寒冷的環境,例如四肢被浸在冰冷的凍水中,他就會有尿液變成血紅色的情況。

1879
年,其中一位血液學的先驅Paul Erlich(關於Paul Erlich的故事,大家可以參考史丹福的舊文章《把血液放在顯微鏡下的前人們》)發現用線綁實病人的手指,再放在冰水裡,病人手指中的血液,裡面的血清會變血。當時Paul Erlich以為這是因為冰冷氣溫令血管釋出毒素,功攻擊紅血球。

兩位血清學的先驅Julius DonathKarl Landsteiner1904年以一個很有趣的測試檢驗出這個奇怪疾病的成因。其中Karl Landsteiner就是大名鼎鼎的「血型之父」,他發現了ABO血型系統,又對恆河猴因子(Rhesus factor)進行過研究,並發現了Landsteiner-Wiener血型系統。

Donath
Landsteiner二人發現把患者的血清與正常人的O型紅血球及血清混合,然後放在體溫37度的溫度中培養並不會有任何反應,放在0-4度的冰冷溫度中培養也沒有反應。但奇怪的是,如果把血液混合物先放在0-4度,再放在37度體溫中,就會出現溶血(haemolysis)現象。當年的免疫學發展還未完善,但DonathLandsteiner已經從這個化驗結果中推斷出患者血清中有一種物質,經歷了「先冷後暖」的變化後,就可以令紅血球破裂。

經過數十年的免疫學發展,我們現在知道引起這怪病的是一種雙相(biphasic)抗體,它會在低溫中會附在紅血球上,然後在暖氣溫中會激發補體(complement)系統──另外一種血清中的免疫蛋白去功擊紅血球。抗體大多是一種攻擊血紅球P抗原(P antigen)的IgG抗體。當患者的紅血球流到溫度較低的四肢時,就會被雙相抗體附上,然後當它在流到溫度較暖的身體中央,就會被補體攻擊而破裂,釋出的紅血蛋白在尿液中排出,令尿液變紅。這個病在今天被毫不花巧,言簡意賅地稱為陣發性冷性血紅蛋白尿(paroxysmal cold haemoglobinuria,簡稱PCH)。

在過往,很多PCH都是與梅毒(syphilis)相關的,但由於抗生素的使用,梅毒個案在現在已經減少了很多。今天,大部分的PCH都出現在受病毒感染後的小童。現時我們在化驗室中仍然是靠DonathLandsteiner當年發明的方法去診斷PCH的。PCH是一個自限的疾病,病人大多都只需接受輔助治療,做好補暖,就會在約一星期時間內自然康復。

至於另一種由冷型自身抗體(cold autoantibodies)引起的溶血疾病則麻煩得多了,它叫做冷凝集素病(cold agglutinin disease)。顧名思義,病人的紅血球在遇冷的時候就會如下圖般被凝集。

冷凝集素病病人的血液抹片
冷凝集素病與PCH一樣,都是一種冷型自身免疫溶血性貧血(cold autoimmune haemolytic anaemia)。但PCHIgG抗體引起,冷凝集素病則由IgM抗體引起,它主要攻擊紅血球上的I或者i抗原。有別於PCH,冷凝集素病病人的紅血球並不是被補體所攻擊,而是在病人的肝臟中被網狀內皮系統(reticuloendothelial system)中的巨噬細胞(macrophages)吞噬。每當遇上寒冷天氣時,病人的紅血球就會容易受到攻擊,令貧血問題突然惡化。

冷凝集素病可不像PCH般容易治癒,它很多時候都是一個慢性疾病,而且傳統的類固醇藥物與脾臟切除手術(splenectomy)效果都不好。幸好近來出現了一些新的單株抗體(monoclonal antibodies)藥物,而其中rituximab可以抑制病人的免疫系統中的B淋巴細胞,它對冷凝集素病的效果似乎不錯。但當然,除了藥物治療之外,病人還是必須要記得做好保暖!

最後介紹的一種寒冷相關血液疾病雖然不會攻擊紅血球,但它對身體做成的破壞卻比之前介紹的疾病有過之而無不及,可以做成手腳潰瘍、關節痛、周邊神經病變(peripheral neuropathy)、腎功能衰退。患者可能會有惡名昭彰的雷諾氏現象(Raynaud‘s phenomenon),即手指腳指遇冷時供血受阻,會先變白,再變紫,最後變紅,嚴重的話可能會壞死。這個疾病就是冷凝球蛋白血症(cryoglobinaemia)。

受雷諾氏現象影響的病人(取自:MedicineNet)

冷凝球蛋白血症最先於1933年在一位多發性骨髓瘤(multiple myeloma)的病人中發現。當時的醫學界早已知道多發性骨髓瘤病人會製造大量蛋白,但這位病人很特別,他的血液放在低溫一段時間之後,血液中的蛋白竟然會凝結起來!之後醫學界就把這些蛋白稱為冷凝球蛋白(cryoglobin)。

大家可以看看下圖,左圖中的試管中可以看到在低溫下凝結的冷凝球蛋白,而右圖中的蛋白則在加熱後重新分解。
試管中的冷凝球蛋白(取自:Krishnaram A, Geetha T, Pratheepa, Saigal A. Primary cryoglobulinemia with cutaneous features. Indian Journal of Dermatology, Venereology, and Leprology, 2013: 79; 427.)
下圖是一張顯微鏡下的周邊血液抹片,背景中灰灰藍藍的一團團雲霧似的物質,就是冷凝球蛋白了。

顯微鏡下的冷凝球蛋白
這些冷凝球蛋白本身不會直接攻擊身體,但它可以阻塞血管,影響組織供血,而更重要的是,它會做成免疫複合體(immune complex)甚至激活補體系統,引起血管炎(vasculitis),結果做成之前提及過的症狀。

冷凝球蛋白分三類,第一型大多由淋巴癌或多發性骨髓瘤等血液科癌症引起,而第二及三型則大多由慢性發炎情況引起,如丙型肝炎(hepatitis C)及自身免疫結締組織疾病(connective tissue disease)。

由於這個疾病很罕見,所以醫學界對它的治療研究也不多。一般的處理方法都是以非類固醇類消炎藥(non steroidal anti-inflammatory drugs)舒緩症狀,嚴重時就會視乎情況,使用類固醇、rituximab,或其他免疫力抑制藥物醫治。如果疾病情況輕微,那麼病人最重要的還是在天冷時做好保暖。

不過未來一星期天氣都會持續寒冷,就算大家身體一向健康,都要記得穿著足夠的禦寒衣物,小心身體啊!

資料來源:

1.      Slemp SN, Davisson SM, Slayten J, Cipkala DA, Waxman DA. Two Case Studies and A Review of Paroxysmal Cold Hemoglobinuria. Laboratory Medicine. 2014: 45; 253-258.

2.      Berentsen S. How I manage cold agglutinin disease. British Journal of Haematology. 2011: 153; 309-317.


3.      Muchtar E, Magen H, Gertz MA. How I treat cryoglobulinemia. Blood. 2016: 129; 289-298.

2018年1月21日 星期日

《荷里活爛片王》:爛到盡頭便是型



介紹《荷里活爛片王》之前,實在不得不介紹下它的沿起──《The Room》。《The Room》是一套由Tommy Wiseau自篇自導自演,於2003年上畫的電影。主流觀眾認為它是一套超級爛片,但它以超越大家邏輯想像的跳躍式對白(”I did not hit her! I did not! Oh, hi Mark.” “I cannot tell you, it‘s confidential... Anyway, how’s your sex life?”、極盡新穎的拍攝手法(無盡的美式足球、匙羹背景...)及完全出人意表的劇本(例如大量完全不發展的支線),瞬間得到了不少影迷的歡心,並觸發了一陣「觀爛潮」,大家都稱它為「最好看的最爛電影」。在美國,觀賞此電影的人群絡繹不絕,放映到今天依然場場爆滿。

《荷里活爛片王》就是改篇自Tommy Wiseau拍攝《The Room》的真實故事。故事先天已經喜感十足,略加改篇,已經足以讓人由頭笑到落尾。大家可以看到《The Room》很多經典內容的來沿,令觀眾如置身當年的影場,例如”I did not hit her... 掟水樽... Oh hi Mark””You‘re tearing me apart, Lisa”等等,這些幽默感十足的片段自然可以令觀眾們抱腹大笑。

雖然故事先天性已經很吸引,但James FrancoTommy Wiseau這個帶東歐口音、年紀不明、資金來源不明,但對電影有 鼓熱誠的Tommy Wiseau演得活靈活現。他的曲捲長髮、東歐口音,都非常神似,就仿似Tommy Wiseau自己出現在螢幕中。電影最後把《荷里活爛片王》與《The Room》左右放在一起直接比較,讓大家欣賞到何謂神還原。

《荷里活爛片王》無疑是非常好笑的作品,但其實它也非常溫馨,笑中有淚的作品。男老角雖然又品味奇特又自我中心,但他對朋友是交出真心的,可以說是兩脇插刀。電影描寫出Tommy與Greg間很窩心的友情,兩人互相扶持,協助彼此追夢。雖然兩人的關係也有起起跌跌,但Tommy Wiseau是從不肯放棄這位朋友的。《The Room》中那些無厘頭的美式足球片段,原來背後有一段這麼溫馨的故事。

另外,這電影也是一個充滿正能量的追夢故事。它教導我們只要有堅強的意志,去做認為自認為正確的事,總會有人欣賞你。如果連你自己都對自己失去熱情,其他人又怎可能對你有熱情呢?看到電影最後,Tommy Wiseau終於得到大家的掌聲及(恥)笑聲,心內實在是暖暖的。

那未看過《The Room》的朋友可以直接欣賞這套《荷里活爛片王》嗎?史丹福覺得是沒有問題的,即使未看過的朋友都一定能夠感覺到電影的幽默、窩心與正能量。但無可否認,如果有看過《The Room》,共嗚就會更加大了,所以我建議大家入場前即使找不到完整的《The Room》,也至少看看youtube中的精華片段。


史丹福推介度:85/100


2018年1月19日 星期五

從Ptolemy's theorem看那些年的三角學公式

大家還記得那些年陪伴大家渡過了不少青春高中歲月的三角學公式嗎?大家又知不知道我們這些老朋友中,有不少都可以由Ptolemy's theorem證明或者推演出來?

Ptolemy's theorem是一條很有趣的初等幾何定理,它並不深奧,只不過是基本圓形性質的推廣。不過在數學中,simplicity is beauty,簡單的定理也可以得出有趣的結果,它告訴我們圓內接四邊形兩對對邊的乘積相加等如兩條對角線的乘積。參考下圖,即ACBD = ADBC + ABDC。


雖然這條定理並不在當年的數學課程中(據聞現在DSE課程的Further learning中有約略提及),但數學迷一定聽過這定理了,它在數學比賽中好使好用,時常都可以運用到。

順帶一提,Ptolemy是古埃及的天文學家。他利用這條定理做出一張弦長表,其實也可以算是最早的三角函數表。但在天文學方面,他卻是「惡名昭彰」的。他建立的地心學說(其他行星環繞地球公轉)統治了歐洲多個世紀,這個錯誤的理論被人視為不可動搖的金科玉律。話雖如此,其實以當時的天文學知識,Ptolemy嘗試以數學方法提出模型,已經是很大的成就了。

Ptolemy’s theorem的證明如下,設有一圓內接四邊形ABCD,EAC上的一點,使得∠ABD=EBC


ADB=ECB (angles in the same segment)
BAD=BEC (angle sum of triangle)
ΔABD~ΔEBC (AAA)
AD/EC = BD/BC (corresponding sides, ~Δ)
EC = ADBC / BD

ABD+DBE =EBC+DBE
ABE=DBC
BAE=BDC (angles in the same segment)
AEB=DCB (angle sum of triangle)
ΔABE~ΔDBC (AAA)
AE/DC = AB/DB (corresponding sides, ~Δ)
AE = DCAB/DB

AC = AE + EC = ADBC / BD + DCAB/DB = (ADBC + ABDC) / BD
ACBD = ADBC + ABDC

接著,我們就可以用這條精彩的定理做出很多三角學的結果了。

但在此之前,讓我們重溫一下大名鼎鼎的老朋友── sine law。根據sine law,對任意三角形ΔABCa / sin A = b / sin B= c / sin C = 2r,其中r是外接圓的半徑。


一個簡單的證明如下:
ΔABC畫一個外接圓,設圓的半徑是rCD是圓的其中一條直徑。
CAD=CDB (angles in the same segment)
CBD = 90°(angle in semicircle)
sin A = sinCAD = sinCDB = BC / CD = a / 2r
a / sin A = 2r
同樣地,b / sin B = 2rc / sin C = 2r,所以a / sin A = b / sin B= c / sin C = 2r

接著我們可以開始試試證明一些三角學公式了,先試一下和角公式。


如上圖,設x + w = y + z = 90°,根據Ptolemy’s theorem
ACBD = ADBC + ABDC
(AC / 2r) (BD / 2r) = (AD / 2r) (BC / 2r) + (AB / 2r) (DC / 2r) (設r是外接圓的半徑)
sin (x + y)sin (x + w) = sin zsin x + sin ysin w
sin (x + y)sin 90° = sin (90°-y)sin x + sin ysin (90°-x)
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
看,這就是sin的和角公式了!

接著我們又試試用Ptolemy’s theorem證明我們另一位老朋友cosine law

先作一個圓內接梯形ABCD,其中AB//DCAD = BC

根據Ptolemy’s theorem
ACBD = ADBC + ABDC
AC2 = AD2 + [DC – 2AD cos ( x + z )]DC
AC2 = AD2 + DC2 – 2(AD) (DC) cos ADC
我們的老朋友出現了!

最後,我們試試用Ptolemy’s theoremsin 18°的值。

先作一個正五邊形ABCDE,正五邊形一定是圓外接的。FCD的中點,∠CAF就是18°了。


因為∠ABC = EAB = DEA = 180° x 3 / 5 = 108°
BAC = EAD = (180° - 108°) / 2 = 36°
DAC = 108° - 36° - 36° = 36°
CAF = 36° / 2 = 18°

設正五邊形邊長x,每條對角線長y
根據Ptolemy’s theorem
ACBD = ADBC + ABDC
y2 = xy + x2
1 = (x / y) + (x / y) 2
(x / y) 2 + (x / y) – 1 = 0
x / y = (√5 – 1) / 2

sin 18° = sinCAF = CF / AC = (x / y) / 2 = (√5 – 1) / 4


很美麗吧?所以說,數學是其中一們世界上最有趣的學問,千變萬化,有很多不為人知的遺珠等待我們發掘!