2018年5月19日 星期六

小明行樓梯


史丹福回家時時常要行上很長的樓梯,有一次就忽發奇想地想到一條很有趣的數學問題。假如小明要行上一道100級的樓梯,他可以每次最少行上1,但他也可以誇步,由於他的腿真的很長,他最多可以一次誇100級。問他有多少種方法去行上這道100級的樓梯?



方法1
如果小明用1步走完樓梯,明顯只有一種方法,就是一步誇100級。
如果小明用2步走完樓梯,他必須在中間的99級樓梯中選擇一級踏上,所以共有99C1種方法。
如果小明用3步走完樓梯,他必須在中間的99級樓梯中選擇2級踏上,所以共有99C2種方法。
如果小明用4步走完樓梯,他必須在中間的99級樓梯中選擇3級踏上,所以共有99C3種方法。
如此類推,如果小明用100步走完樓梯,他必須在中間的99級樓梯中選擇99級踏上,所以共有99C99種方法。

最後答案就是1 + 99C1 + 99C2 + 99C3 + … + 99C99。這條式要怎麼計算呢?

根據二項式定理(Binomial theorem),(1+x) n = 1 + nC1 x + nC2 x2 + nC3 x3 + … + nCn xn
代入x =1,我們就得到1 + nC1 + nC2 + nC3 + … + nCn = 2n
再代入 n = 99,我們就得到1 + 99C1 + 99C2 + 99C3 + … + 99C99 = 299
所以小明共有299種方法行上樓梯。

方法2
第一個方法已經很精彩了,但思路清晰的朋友也許會想到一個更簡潔美麗的方法,小明可以選擇踏上或者不踏上第一級,可以選擇踏上或者不踏上第二級,可以選擇踏上或者不踏上第三級,如此類推,他最後可以選擇踏上或者不踏上第99級,所以他自然有299種方法行上樓梯。

2018年5月18日 星期五

《復仇者聯盟3:無限之戰》與天文學(零劇透)

《復仇者聯盟3:無限之戰》電影海報(來源:Marvel Studios)

大家看完了《復仇者聯盟3:無限之戰》了嗎?一眾復仇者聯盟成員要面對漫威史上最強大敵人Thanos,相信大家都看得很滿足吧?但大家又知不知道故事中其實隱藏了不少天文學知識?就如Thanos的手下Black Order有四位成員──Corvus GlaiveProxima MidnightCull Obsidian(漫畫中原名是Black Dwarf)及Ebony Maw,其中有幾位的名字都有天文學上的意思。

《復仇者聯盟3:無限之戰》電影預告截圖,由左至右分別是Proxima Midnight、Loki、Ebony Maw、Corvus Glaive與Cull Obsidian (來源:Marvel Studios)
Corvus Glaive在漫畫中是Black Order五將軍之首(電影中只提及過四位),是他們當中戰鬥力最強,也是Thanos最信任的。他使用雙刃長矛作武器,只要他的長矛仍然完整,就可以不斷復活。在《無限之戰》電影的預告片中,我們就見到他使用他的雙刃長矛嘗試拿取幻視(Vision)頭上的無限寶石。

Corvus Glaive使用他的雙刃長矛嘗試拿取幻視頭上的無限寶石(來源:Marvel Studios)
Corvus Glaive中的Corvus指烏鴉,而我們的天上也有一個以Corvus命名的烏鴉座,它是一個由43等星組成的星座,形狀像是一個歪斜的四邊形。烏鴉座是一個重要的春季星座,它的亮星不多,不易辨認,但由於它位於天文學中所謂「春季大弧線」的尾端,所以為不少觀星愛好者所認識。

形狀像是一個歪斜四邊形的烏鴉座(來源:http://www.rocketroberts.com 拍攝者:J. Roberts)
為了方便天文愛好者記得星星的位置,我們經常會把不同季節的星空中幾顆最亮麗的星星連繫起來,把它們歸類為一個特別的圖案,例如所謂的「夏季大三角」、「秋季大四方」與「冬季六邊形」,而春天星空就有剛才提及過的「春季大弧線」。

「春季大弧線」以北斗七星為起點。沿著北斗七星「柄」的3顆星(玉衡、開陽及搖光)彎彎地伸延,連到牧夫座(Bootes)的大角(Arcturus)、室女座(Virgo)的角宿一(Spica),最後就到烏鴉座。

Stellarium軟件中的「春季大弧線」(來源:Stellarium)
至於Black Order另一位成員Proxima Midnight是一位凶狠的女將,她同樣以長矛為武器,雖然她的長矛就不及Corvus Glaive的雙刃長矛般帥氣,但她依然是不容小覷的超強角色。在《無限之戰》電影的預告片中,我們就見過她把長矛拋向美國隊長的精彩片刻。在漫畫中,Proxima MidnightCorvus Glaive是夫妻檔,但在電影中就似乎沒有提及這個關係,只提到兩人都是Thanos收養的兒女。

Proxima Midnight把長矛拋向美國隊長(來源:Marvel Studios)
Proxima指比鄰星,顧名思義就是除太陽外離地球最近的恆星。比鄰星位於半人馬座,正式名稱是半人馬座αC,離我們只有4.22光年。如果我們有一枝以光速行駛的火箭,只需4.22年就可以到達比鄰星了。以宇宙的尺度來說,實在是非常非常之近。

半人馬座α星又叫做南門二,位於天空南方,在南十字座附近,所以在北半球地區不容易見到。傳聞當年鄭和下西洋,就是用南門二來指引方向。南門二其實由三顆星互相繞轉組成的,三合星系統中的A星與B星都是非常明亮的星星,視星等分別是−0.011.33(在天文學中,我們用視星等去量度星星的亮度,視星等越少,星星就越亮,每級之間亮度則相差2.5倍,人類肉眼可以看到的最暗星星大約是視星等6)。在我們觀看南門二時,兩顆星的亮度加了在一起,令南門二成為了天上一等一的亮星。

而三合星系統中的C星比鄰星卻暗淡得多了,視星等只有11,是肉眼看不到的。作為最近太陽系的恆星,卻暗淡得連肉眼都觀測不到,實在有點諷刺,也似乎不太配襯得起Thanos最凶悍的女將Proxima Midnight的名聲。比鄰星是一顆紅矮星(Red draft),直徑及質量都非常低,分別只有太陽的約八分之一與七分之一。它的表面溫度也很低,只有約3000K,呈暗紅色。供大家比較參考,我們的太陽表面溫度就有約6000K

Cull Obsidian在漫畫中原名是Black Dwarf,他是Black Order中體型最大的一位,體型甚至比Thanos更大,屬於一位力量型角色,在漫畫中擁有超強悍的力量及無堅不摧的皮膚。

Black Dwarf即黑矮星,是一個理論上的假想星體。要明白「黑矮星」這個假想星體,就先要對恆星演化有點基本認識。恆星靠核融合反應發出光與熱,當一顆低至中等質量的恆星到了晚年,已經不能再進行核融合反應時,就不再有輻射壓製造出來去對抗重力,它會倒塌成質量極高的星體──白矮星(White dwarf)。白矮星內沒有核反應,它會慢慢冷卻,最終冷卻到我們再也偵測不到它的光與熱。這種星體就是黑矮星了。

但恆星要演化成黑矮星所需的時間極長,遠長於宇宙的年齡137億年,所以這種星體只在理論上存在,現時宇宙理應沒有任何黑矮星

另外值得一提的是,電影的主角來自泰坦(Titan),原來真有其星。Titan是土星的第六顆衛星,也是土星最大的衛星,由著名的荷蘭物理學家及天文學家Christiaan Huygens所發現。大家當年中學物理課時學過的波動學中的Huygens' principle就是由他提出的(當然,今天的DSE課程早已删除了這內容了)。

卡西尼-惠更斯號(Cassini-Huygens)太空飛行器拍攝到的泰坦星(來源:NASA)
在太陽系的眾多衛星中,泰坦是最惹人閑想的,因為它有一個濃厚的大氣層,甚至比地球的大氣層更濃厚,這個星球上有豐富的有機分子,構造及大氣成分與早期地球有相似之處,另外它也有由液態甲烷組成的湖,所以被認為可以孕育出生命。

泰坦一向是科幻故事作者的最愛,如倪匡的衛斯理系列中的《藍血人》新版,主角方天就是來自泰坦的(原版是來自土星)。

資料來源:
1.          Wikipedia
2.          Starrix 星匯點(http://www.starrix.hk/starrix_pastevent.html
3.          香港太空館

2018年5月12日 星期六

血常規檢查報告告訴我們甚麼?(下)

用來做血常規檢查的自動血液细胞分析儀

上回談到血常規報告,又稱全血細胞計數(complete blood count)報告中的紅血球指標代表甚麼,今回讓我們看看白血球分類計數(differential count)的幾個指數又有甚麼意思。

白血球是免疫細胞,是守護身體的軍隊,它分為5種,分別是嗜中性白血球(neutrophils)、淋巴性白血球(lymphocytes)、單核白血球(monocyte)、嗜酸性白血球(eosinophils)及嗜鹼性白血球(basophils)。有一個口訣可以幫助大家記得這5種細胞的名稱:”Never Let Mother Eat Babies”。這5個字的開首字母正好對應5種白血球英名名稱的開首字母。

一份血常規檢查報告
先看看以下一張周邊血液抹片,帶有紫藍色細胞核的血細胞就是白血球,它們是免疫系統的重要部分。其實白血球本身不是紫藍色,而是偏白的。紫藍色的細胞核只是染料製造出來的效果。白血球有細胞核,紅血球及血小板沒有,這是自動血液细胞分析儀偵測白血球的原理。

正常的周邊血液抹片
正如上一篇文章所講,現時九成以上的血常規報告是由自動血液细胞分析儀所進行的。自動血液细胞分析儀會先利用試劑把紅血球溶掉,除了上次介紹過的電阻抗及光學方法外,自動血液细胞分析儀也會利用一些巧妙的方法去進一步幫助機器分析細胞,例如利用螢光染料(不同的細胞有不同程度的上色)或差別溶解(differential lysis)(用溶劑把嗜鹼性白血球外的細胞模溶解,以量度把嗜鹼性白血球的數量)等。

嗜中性白血球是血液入面數量最多的白血球,負責進行吞噬作用(phyagocytosis),把入侵者(主要是細菌及真菌)吞掉。如果我們身體的免疫系統是一支軍隊的話,那麼嗜中性白血球就是士前卒,負責守衛第一道防線。

嗜中性白血球數量會在感染及發炎時升高。某些藥物,例如類固醇會把嗜中性白血球從血管周邊地方迫入血液中,所以也會令到血液中的這些細胞數量上升。另外,某些血液癌症,如慢性骨隨性白血病(chronic myeloid leukaemiaCML)及較為罕見的慢性嗜中性粒細胞性白血病(chronic neutrophilic leukaemia)都會有嗜中性白血球數量增加的情況。

淋巴性白血球是血液中數量第二多的白血球,分為B細胞、T細胞及NK細胞。B細胞及T細胞都是後天性免疫系統(adaptive immune system)的一部分。B細胞是免疫大軍中的「炮兵」,當它在淋巴組織中分化成漿細胞(plasma cells)後,就可以製造免疫球蛋白(immunoglobulins),又稱為抗體(antibodies),對抗入侵者。T細胞又再分為細胞毒性T細胞(cytotoxic T cells)及輔助型T細胞(helper T cells)。顧名思義,细胞毒性T細胞負責擊殺被病毒感染的細胞或者癌細胞,輔助型T細胞則負責協助其他免疫細胞。NK細胞作用與細胞毒性T細胞類似,不過它使用的機制不同,是屬於先天性免疫系統(innate immune system)的一部分。

史丹福當年尚是醫學生的時候,血科教授曾經說過,成年人的淋巴性白血球數量增高,可能性只有兩個,就是慢性淋巴性白血病(chronic lymphocytic leukaemiaCLL)及淋巴癌。不少醫學生所知的病毒感染及結核菌感染都是錯誤的答案,有些要求較高的教授聽到這些答案的話可能會指著學生痛罵”You should throw yourself into the rubbish bin.”

一位慢性淋巴性白血病病人的周邊血液抹片,大家可以見到淋巴性白血球數量上升
如果小孩或青少年出現淋巴性白血球數量增高,那麼情況就有所不同了。這時我們便應該考慮傳染性單核白血球增多症(infectious mononucleosis)等的病毒感染。另一種罕見但惡名昭彰地會令淋巴性白血球數量上升的感染是百日咳(pertussis)。雖然百日咳由細菌引起,但有別於其他細菌感染,它影響的是淋巴性白血球而不是嗜中性白血球。

單核白血球與嗜中性白血球一樣都會負責進行吞噬作用,它更會走到身體組織中分化成巨噬細胞(macrophages)家族,把戰線從血液帶到身體組織中,繼續作戰。單核白血球數量會在感染時上升,也會在慢性髓單核細胞白血病(chronic myelomonocytic leukaemiaCMML)等血液癌症中上升。值得一提的是,毛細胞白血病(hairy cell leukaemia)的病人常出現單核白血球數量低的情況,非常特別,是作出診斷的其中一個重要線索。

嗜酸性白血球的主要作用是製造敏感反應及對抗寄生蟲感染。病人的嗜酸性白血球數量增多,可能的原因分為繼發性及原發性。繼發性原因包括過敏反應(哮喘、濕疹、藥物過敏)、寄生蟲感染、皮膚病、自身免疫系統疾病等;原發性原因指骨髓造血細胞不正常地增生,製造過量的嗜酸性粒白血球,如FDGFRAFDGFRBFGFR1基因變異引起的血液癌症,又或者是慢性骨隨性白血病(CML)、慢性髓單核細胞白血病(CMML)等。

一般來說,如果遇到嗜酸性白血球增多的病人,醫生會先根據病人的病歷去安排檢查以排除繼發性原因,例如以糞便檢查去排除寄生蟲感染。假如病人嗜酸性白血球長期增高,又找不到繼發性原因,那醫生可能就需要做骨髓檢查及基因檢查去找尋原發性的病因。

嗜酸性白血球太多的話,會入侵心臟、肺部、腸臟等器官,做成破壞。而使用類固醇可以幫助降低嗜酸性白血球數量。

嗜鹼性白血球是血液入面數量最少的白血球,基本上只有一個原因會令嗜鹼性白血球增高,就是慢性骨隨性白血病(CML),其他書本上記載的原因都太罕見了。

一位慢性骨髓性白血病病人的周邊血液抹片,大家可以見到嗜鹼性白血球數量上升
血常規報告雖然是最基本的,也是醫院中最常進行的血液檢查,但內裡也隱藏了不少奧妙的學問,史丹福有空再跟大家分享吧。

資料來源:
Bain BJ (2015). Blood cells: A practical guide. Oxford: Blackwell Science.

2018年5月5日 星期六

《復仇者聯盟3:無限之戰》:用18部前作交織出的熱血、激情與感動




記得當年看第一集《復仇者聯盟》,我對電影的認知從此改變了。原來電影不只可以用來創造出角色,更可以創造出一整個「宇宙」。這個概念由漫威首創,前無古人,後縱有來者,也只不過是東施效顰。時光荏苒,轉眼十年,漫威電影宇宙終於要步入最終的高潮。

要談電影,始終很難不劇透,小弟就嘗試先談不需劇透的部分,之後再作略帶劇透的討論。

角色太多的電影是很難拍得好的,一不小心就會顧此失彼,忽略了某些角色,令人物描寫變得片面。但這部電影是如此完美地平衡了十多位超級英雄的戲份,由最核心的Ironman、美國隊長、雷神,到冷門的黃、NebulaWar machine,全部都有戲可演。當然,各位角色出現難免有多有少,但總的來說是分配平均,就算多麼次要的角色都最少有一兩幕令你印象難忘的戲份。能夠做到這效果,大概是因為早有之前十八套電影的鋪排,大家早已認識各個人物的心路歷程,可以投入在角色中,所以今集可以二話不說,幕幕高潮。

有一點我相信很少人有留意,但我覺得做得出色的地方就是主題曲的運用。談起經典電影系列,無論是《星球大戰》系列、哈利波特系列,或是007系列,都總有一首深入民心的主題曲。但作為其中一套史上最成功的《復仇者聯盟》系列竟然缺少了一首令人耳熟能詳的主題曲,實在是很可惜。其實《復仇者聯盟》的主題曲是很熱血的,只是過往宣傳得不多,不夠入腦。今次加入了宣傳片中,又在片中最熱血的兩個場景響起了這段音樂。相信經過今集後,這首主題曲應該可以更入屋了。

接著的討論開始有劇透了,未看電影的朋友請注意。

MCU最為人詬病的地方就是奸角太弱,除了Loki外,MCU基本上很少出現令人印象深刻的奸角。但看完《無限之戰》後,相信大家都另眼相看了。Thanos強得令人難以置信,稱他為超級英雄電影史上最強的奸角也不為過。難得的是,電影也深入地描繪了Thanos的心路歷程,雖然他滅世的動機仍然比較片面,但電影很立體地帶出他內心的爭扎,又描述了他為了自己理想而作出的犧牲,大家完全可以感受到他是有血有肉的。

除了Thanos外,比較多內心戲的角色就是StarlordGamoraVisionScarlet witch兩對苦命鴛鴦。兩對情侶今集情感大爆發,牽動大家情緒,是劇中最感動的部分之一。除了他們外,雷神是最搶戲的角色。這位最強的復仇者卻在電影中失去了最多,他在最軟弱的時候遇到Rocket,這對令人意想不到的組合卻甚有火花。

本集的動作場面也非常出色,最大規模的自然是Wakanda之戰,但真正令人拍爛手掌的卻是IronmanDr Strange帶領的太空之戰,每個角色各顯神通,明顯經過精心設計,每人的特性都在這場動作戲中發揮得淋漓盡致,簡直拍得上《美國隊長:英雄內戰》中的機場大戰。

至於結局當然精彩,大家在看電影前都很擔心被劇透,提早得知那位復仇者會戰死。但真正看過的人就會知道,其實想劇透都不知道如何透起,結局已經遠遠超越了誰人會戰死的層次。這也許是MCU史上最藝高人膽大的結局,任你多厲害都不會猜得到結局是這樣。看完結局,大家自然更期待第四集《復仇者聯盟》,但其實單獨一集來看,故事也是非常完整而精彩。

那麼《復仇者聯盟3:無限之戰》有沒有做得未夠好的地方?我覺得也不是沒有的,例如電影完全略過某些前作鋪排的人物關係,例如美國隊長與Ironman在內戰後的關係,而Banner與黑寡婦的暖昧關係也只以一句說話交代了。不過我也明白由於片長關係,某些情節總要犧牲,也許導演會在第四集才作更好的處理吧。

總的來說,電影劇情豐富,幕幕高潮,角色眾多但導演駕馭得很好,導技真心令人拍爛手掌。不過看《復仇者聯盟》系列其實不止是為了看一部電影,而是為了見證一個時代的回憶。電影的好看是累積回來的,如果沒有長達1018部前作的鋪排,跟本不可能出現一部如此成功的電影。單論電影,跟《復仇者聯盟3:無限之戰》同樣好看,甚至比它更好看的電影為數不少,但若以一個系列計算,MCU及復仇者聯盟系列,肯定是這個時代中最成功最好看的。

史丹福推介度:87/ 100

2018年4月28日 星期六

雷神與天文學

雷神托爾(Thor)是漫威(Marvel)的超級英雄,是北歐神話中的神,是復仇者聯盟的元老級成員。他剛剛與姊姊死亡之神Hela大戰一場,之後又要面對漫威史上最強大敵人Thanos,相信一眾漫威迷都一定興奮不已。但大家又可否知道原來有很多天文學的故事都與雷神相關?

電影《雷神奇俠》的海報(來源:Marvel)


Aurvandill的大腳趾

雷神爾在真正的北歐神話中確實存在,而且佔了相當重的分量。

其中一個神話故事是雷神為了帶朋友Aurvandill逃離巨人界(Jotunheim),就把他放進一個籃子,背著他橫過冰河,但Aurvandill的大腳趾伸出了籃子外,便被凍到壞死了,雷神於是把Aurvandill的大腳趾拋到天上,成了一顆星星。

至於Aurvandill的大腳趾成了那一顆星就眾說紛紜,暫時未有定案。其中一個說法北歐維京語中的Aurvandill與舊英語中的Éarendel相通,而Éarendel又指「晨星」。有哪顆星星會在清早出現?熟悉天文學的朋友就知道是金星。由於金星位於地球軌道之內,它的位置一定在太陽附近,所以大家只會在日出及日落時間左右觀察到金星。

金星只能在日出或日落的時間被觀察到

又有人說Aurvandill的大腳趾是獵戶座(Orion)的參宿七(Rigel)。依今天的現代西方天文學來看,參宿七就位於獵人右腳的位置。

參宿七位於獵戶座右腳的位置(來源:Stellarium)

甚至有人認為Aurvandill的大腳趾是大犬座(Canis Major)的天狼星(Sirius),或是后髮座(Coma Berenices)。

彩虹橋與銀河

另外,在北歐神話中,彩虹橋(Bifrost)是連接聖域界(Asgard)與地球的道路,由海姆達爾(Heimdallr)守護。彩虹橋在《雷神奇俠》電影系列中多次出現。學者相信,維京人相信夜空中見到的銀河就是彩虹橋。

電影《雷神奇俠》中的彩虹橋(來源:Marvel)

用現代的天文學知識來說,我們看見的銀河其實銀河系盤面區域,是恒星最密集的地方。這個位置有無數肉眼不能解析的恆星,它們形成一道畫過天空的朦朧光帶。

學者認為夜空中的銀河就是維京人心中的「彩虹橋」(來源:NASA Astronomy Picture of the Day 拍攝者:Alex Cherney)
星期四Thursday與雷神Thor有甚麼關係?

又話說古時候日耳曼人本來深受北歐文化影響,但之後又接觸到羅馬文化,於是他們會把北歐神話中的神與羅馬神話中的神聯繫起來。他們覺得雷神索爾就等同羅馬神話中的閃電之神朱比特(Jupiter),所以以朱比特命名的木星在日耳曼人心中就是「托爾之星」。同樣地,他們又覺得索爾的父親「諸神之神」奧丁(Odin)等同於羅馬神話中的墨丘利(Mercury),托爾的母親Frigg(在漫威電影中被稱為Frigga,後因保護雷神的女朋友Jane Foster而被Dark Elves殺死)等同於羅馬的女神維納斯(Venus),所以水星就代表奧丁,金星就代表Frigg

《雷神奇俠》系列的電影截圖,左:「諸神之神」奧丁;中:雷神托爾;右:托爾的母親Frigga,即北歐神話中的Frigg(來源:Marvel)
更引人入勝的是,古人把天上的星體與星期的日子連繫起來。星期日Sunday明顯與太陽相關,星期一Monday與月球(Moon)相關,星期六Saturday與土星(Saturn)相關。星期四與木星相關,而古英語飽受日耳曼語影響,所以用了日耳曼的方法稱呼這些相關的星體,Thursday其實就是Thor’s day的意思。星期三與水星相關,Wednesday演變自Woden’s dayWoden是古英語叫法,其實就是日耳曼語中的Odin)。各位聰明的讀者可以自己猜猜星期五Friday一詞是來自那個星體及那位北歐神明。

「雷神之鎚」有多重?

在介紹過過千年前的星空神話故事後,我們又不妨再以現代天體物理學角度研究一下雷神。

雷神曾經有過一個鎚子,由一顆垂死的恆星核心製造出來,重得連變形俠醫、鐵甲奇俠、美國隊長都拿不起來(下面影片)。就史丹福的記憶,漫威電影宇宙中只有四個人曾經拿得起這個鎚子(考考各電影迷,是哪四位呢?)。




究竟一顆垂死的恆星核心有多重呢?為什麼可以製造出連這些超級英雄都無法拿得起的鎚子?

一個質量與太陽接近的恆星在年輕時會穩定地進行核聚變反應把氫融合成氦,這個反應製造出向外的輻射壓去抵抗向內的重力壓。當氫差不多用盡後,恆星會向內收縮,令核心變得更熱,製造更強的輻射壓令外層向外擴展,使恆星體積大幅膨脹,變成紅巨星(red giants)。

恆星的核心持續收縮,令溫度升高,最後點燃起三核連鎖反應,並製造出碳,如果紅巨星沒有足夠的質量去產生足夠的溫度點燃碳,碳就會在核心堆積起來。如果質量足夠的話,外層的氣體散開成為「行星狀星雲」,最後只留下核心的部份,這個殘骸就是白矮星(white drafts)。白矮星的內部不再有物質進行核融合反應,因此不再有輻射壓製造出來去對抗重力,它會倒塌成質量極高的物質,倒塌只能靠量子力學中的電子簡併壓力(electron degeneracy pressure)去支撐。這個壓力來自包立不相容原理(Pauli exclusion principle)中兩個電子不能同時佔有相同的量子態的原則。

白矮星核心的密度可以高達1 x 109 kg/m3,假設雷神之鎚用白矮星的核心製造,假設雷神之鎚大小為10 x 10 x 10 cm(其實應該更大,不過為了方便計算,史丹福就選用了這數字),那它重達106kg,差不多等如十多輛美軍M1A2艾布蘭主戰坦克的質量。

但白矮星仍然未是密度最高的星體,1983年諾貝爾物理學獎得主天文學家Subrahmanyan Chandrasekhar就曾經在印度乘船去英國劍橋大學時百無聊賴地利用量子力學進行計算,計算得出如果白矮星質量大過太陽的1.4倍,電子簡併壓力就不能支撐到它的倒塌,恆星會繼續因引力而收縮。最後電子便強迫擠到原子核中,與質子結合成中子。這個星體就是中子星(neutron star)了。大家知道在原子中,原子核與電子之間是有很多空間的,中子星卻擠到連這些空間都用上了。

值得一提的是,Jocelyn Bell是首位觀察到這種星體的天文學家。但諾貝爾獎委員會其後卻把發現中子星的獎項只頒給她的導師Antony Hewish,有不少人都認為這是諾貝爾獎史上其中一個最大的遺珠之一。

中子星核心的密度可以高達約3-6 x 1017 kg/m3,如果「雷神之鎚」以中子星核心來製造的話,它的重量要以1014kg這個級數來量度,即小小一個鎚子有相等於幾百萬架美國尼米茲級核動力航空母艦的質量,難怪強如變形俠醫、鐵甲奇俠、美國隊長都拿不起來了。



資料來源:
1.     Wikipedia
2.     Etheridge C. A Systematic Re-evaluation of the Sources of Old Norse Astronomy. Culture and Cosmos. 2014; 16(2): 119-30.
5.     Koester D, Chanmugam G. Physics of white dwarf stars. Reports on Progress in Physics. 1990; 53(7): 837–915.
6.     Woosley, SE, Heger A, Weaver TA. The evolution and explosion of massive stars. Reviews of Modern Physics. 2002; 74(4): 1015–71.