多面體的內角和

考考大家，三角形的內角和是多少？
「當然是180°啦！你這在侮辱我智慧嗎？小學生都知道啦！」

好，那加深一點難度，100邊形的內角和是多少？

「嗯，這題問題正常一點。中學學過，n邊形的內角和公式是(n-2)x180°，所以100邊形的內角和(100-2)x180°=」

不錯不錯！那又再加深一點啦。一個多面體有60個頂點，32個面，90條邊，那它各個面的內角和之和又是多少？

這題難一點吧？如果我告訴你，你甚至不需要知道一個多面體有多少個面，多少條邊，你只需要知道一個多面體有多少個頂點，已經可以知道它各個面的內角和之和，你相信嗎？

我們以以下的一個隨機的多面體為例子。設V是頂點的數量，F是面的數量，E是邊的數量。

我們在多面體的每個面的中間加一點，然後把這點與多面體的頂點相連，相連後就會出現很多三角形。

三角形的總數取決於邊的數量，因為每條邊都對應著兩個三角形（想像不到的話請參考上圖）。所以三角形的數量是2E，三角形的內角總和是2E x180°=360°E。

所以多面體各個面的內角和之和就是360°E？不！但要小心呀！多面體中每個面上的點是我們加上去的啊，記得要減去它。加上去的點的數量等如面的數量，是360°F。

所以多面體各個面的內角和之和是360°E-360°F=(E-F)x360°。如果心水夠清，記得Euler’s formula的話，就知道V+F-E=2。由於E-F=V-2。剛才的答案就可以簡化成(V-2)x360°。

回到最初的問題，相信大家現在都懂得計算了。一個多面體有60個頂點，，我們就算不知道它有32個面，90條邊，也可以輕而易舉地計到它各個面的內角和之和是(60-2)x360°=20880°

順帶一提，題目中那個60個頂點，32個面，90條邊的多面體，其實就是化學中鼎鼎大名的C60 buckminsterfullerene的結構。