熱狗數學題

聖誕佳節，最適合吃一頓豐富美味的聖誕大餐。小弟最近上網見到一題熱狗數學題，充滿美食，令人好不興奮。小弟忍不住跟大家分享，順祝大家聖誕快樂。

(From Mathematical Mathematics Memes)

首先，毫無疑問，枝裝啤酒是10，漢堡包是5，杯裝啤酒是2。所以我們的問題變成了

Sinx/x類型的積分該如何解呢？原本數學家已經證明了這個函數不可以用我們熟悉的elementary function（也就是多頂式函數、三角函數、指數及對數）做得到積分。

也許我們可以試試用級數解，例如Taylor series？

但這個級數也幫不到我們處理涉及到無限的瑕積分（improper integral）。

我們需要一些更厲害的工具──複變分析（complex analysis）。

所以我們沿著下圖的方向再e^(iz)/z做一次線積分。

這條路徑是特意設計出來去避開z = 0的一點，因為e^(iz)/z在z = 0上是不可解釋（non-analytical）的。避開了這點後，這函數便在路徑區域內全都可解釋（analytical）。根據大名鼎鼎的Cauchy’s integral theorem，這個積分是0。

我們取R2à∞及R1à0。

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