2017年7月22日 星期六

最短的路不一定最好,最重要是選一條適合自己的路

這是一題很有哲學意味,可以令你的人生有所頓悟的數學問題:一個質點在重力作用下,以速率為零開始,由點A移動到點B(點B低於點A),點A沿著甚麼路徑才能令所需的時間最短呢?

如果路徑是直線的話,質點移動的距離明顯是最短的。但如果路徑是向下凹的話,質點一開始的加速就會較多,這樣雖然路程長了,但又似乎可以更快去到目的地點B。向下凹的曲線都有很多不同的種類,可以是圓弧,可以是拋物線,可以是其他圓錐曲線,可以是其他古靈精怪的曲線,究竟那一條才是我們尋找的「最速降線」(Brachistochrone)呢?

Adapted from Curiosa Mathematica

這題經典的數學物理問題由著名的數學家約翰伯努利(John Bernoulli)提出,之後共收到其他4位數學家的答案。這4位數學家全部都是明星級的人物,包括牛頓(大家不可能不認識他的大名吧?)、萊布尼茲(Gottfried Leibniz,除了牛頓外另一位微積分的始創人)、雅各伯努利(Jacob Bernoulli,約翰的哥哥,他們兩人是伯努利家族中最出色的天才,但卻彼此憎恨大家)及羅必達(Guillaume de L'Hôpital,就是L'hopital's rule的那個L'Hôpital)。據聞約翰伯努利自己用了兩個星期求得答案,而牛頓只用了一晚想到答案了。牛頓最初是匿名提交答案的,但約翰伯努利憑著答案的風彩,已經猜到了答題者是誰,他形容自己「靠著爪印認得出一隻獅子」。

約翰伯努利自己的答案很有趣,他用到了光學中的費馬原理。費馬原理告訴我們,光線一定會用沿著一條需時最少的路徑走。那麼如果我們把質點想像成光,光線從點A移動到點B的路徑正正就是我們想尋找的「最速降線」。

參考上圖,利用能量守恆定律(Law of conservation of energy),我們得出質點在向下走了y’時的時候速度v = √(2gy’)。再利用光學中的斯內爾定律(Snell’s law),我們得知光線的入射角的正弦與光速成正比,如果我們把質點想像成光線,就可以得出sinα / v = constant



我們運用了光的類比,就得出了這一條優雅的微分方程。之後只要解了這條微分方程就可以了:



我們得出的曲線叫做「擺線」(Cycloid),它是一個圓沿一條直線運動時,圓邊界上一定點所形成的軌跡。

Adapted from Wikipedia

這條曲線除了是「最速降線」外,原來他還有另一個非常有趣的性質,在約翰伯努利未提出這個問題以前已早被惠更斯(Christiaan Huygens)所發現,就是把質點放在擺線的任何一點上,讓它在重力作用下移動,質點都會以同樣的時間走到最低點。

Adapted from Wikipedia

其後兩位數學巨人──歐拉(Leonhard Euler)及拉格朗日(Joseph Lagrange)發展變分法(Calculus of variation),一門可以系統化地解決類似「最速降線」這類問題的學問。典型的微積分可以尋求一個極值,使函數取得極大或極小值;而變分法則可以尋求的是函數:使得泛函(Functional)取得極大或極小值。

歐拉-拉格朗日方程式指出如果要令到



取得極大或極小值,那麼:


如果F獨立於x,那麼歐拉-拉格朗日方程式就可被寫成



我們試試用歐拉-拉格朗日方程式再求一次「最速降線」,這個是今時今日最標準的方法:


根據歐拉-拉格朗日方程式,要令質點落下的時間t取得最小值的話


得出的微分方程與約翰伯努利用光學原理導出的方程式完全一樣。之前我們已經解了這條方程式,答案就是一條擺線。


這題數學題除了很有數學的內涵外,更帶有哲學意味,它教了我們「最短的路不一定最好,最重要是選一條適合自己的路」。

Adapted from Curiosa Mathematica

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